1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
空间向量
- 空间中, 既有大小,又有方向 的量
一些历史概念
单位向量 / 零向量 / 相等向量 / 相反向量
位置关系
- 共面: 空间中多个向量,平移后在同一平面内,则它们共面
提示
任意两个空间向量共面
加法 / 减法 运算
- 「三角形法则」
-
「平行四边形法则」
-
交换律: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
- 结合律: \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
数乘运算
- \(\vec{b}=\lambda \vec{a} \Longrightarrow \vec{a} /\!/ \vec{b}\)
- \(\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC} \Longrightarrow A,B,C \text{共线}\)
- \(\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)
- \((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)
数量积
投影
空间向量 \(\vec{a}\) ,空间中 直线 \(l\) 或 平面 \(\alpha\) ,过 \(\vec{a}\) 的始点作 直线 \(l\) 或 平面 \(\alpha\) 的垂线,设垂足 \(A,B\) , \(\overrightarrow{AB}\) 是 \(\vec{a}\) 在 直线 \(l\) 或 平面 \(\alpha\) 上的投影
性质
- \(\vec{a}\perp\vec{b}\Longleftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
- \((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda\vec{a}\cdot\vec{b}\)
- \(\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=\mid\vec{a}\mid^2\)
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
- \(\mid\vec{a}\cdot\vec{b}\mid<\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\)
- \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)
1.1.2 空间向量基本定理
共面向量基本定理
若 \(\vec{a},\vec{b}\) 不共线, \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 共面 \(\Longleftrightarrow\) 存在唯一 \((x,y)\) 使 \(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\)
推论
- 不共线三点 \(A,B,C\) , \(P\) 在平面 \(ABC\) 内 \(\Longleftrightarrow\) 存在唯一 \((x,y)\) 使 \(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)
- 空间中任意一点 \(O\) , \(\overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}+\gamma\overrightarrow{OC}\Longleftrightarrow A,B,C,P\) 四点共面,且 \(\alpha+\beta+\gamma=1\)
空间向量基本定理
若空间中三个向量 \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) ,则对于任意向量 \(\vec{p}\) ,都存在唯一 \(\{x,y,z\}\) ,使 \(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}\)
1.1.3 空间向量的坐标 与 空间直角坐标系
空间向量的坐标
一般的,若一组基底 \(\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\) 中, \(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\) 均为单位向量,且两两垂直,就称这组基底为正交基底,在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解
注
空间向量的运算 与 坐标的关系
\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1);\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)
- \(\vec{a}\pm\vec{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2)\)
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)
- \(\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)\)
- \(\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=(\lambda x_1+\mu x_2,\lambda y_1+\mu y_2,\lambda z_1+\mu z_2)\)
- \(\mid\vec{a}\mid=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)
- \(\cos <\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid}=\cdots\)
空间向量的坐标 与 空间向量的 平行 / 垂直
- \(\vec{a}/\!/\vec{b}\Longleftrightarrow\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2}\)
- \(\vec{a}\perp\vec{b}\Longleftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\)
空间直角坐标系
在平面直角坐标系 \(xOy\) 的基础上,过再作一条数轴 \(z\) ,使之与 \(x,y\) 轴都垂直
卦限
如何标点
先写轴,再写面,最后写空间,其余要计算
两点间距离
中点坐标